傅里叶变换的时间微分性质

傅里叶变换

连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)可以定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

和傅立叶变换的逆被定义为，

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$

傅里叶变换的时间微分性质

陈述–傅里叶变换的时间微分性质表明，函数在时域中的微分等价于其傅里叶变换乘以频域中的因子$j\omega$。因此，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据时间微分性质，

$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)}$$

证明

根据傅里叶逆变换的定义，我们有，

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$

两边取时间微分，我们得到，

$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega\right]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)\frac{d}{dt}[e^{j\omegat}]d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)j\omegae^{j\omegat}d\omega}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{dt}x(t)=j\omega\left[\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega\right]=j\omega\cdotF^{-1}[X(\omega)]}$$

所以，

$$\mathrm{F\left[\frac{d}{dt}x(t)\right]=j\omega\cdotX(\omega)}$$

或者，也可以表示为，

$$\mathrm{\frac{d}{dt}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)}$$

一般来说，$n^{th}$阶微分的时间微分性质由下式给出，

$$\mathrm{\frac{d^{n}}{(dt)^{n}}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}(j\omega)^{n}\cdotX(\omega)}$$

数值示例

利用傅里叶变换的时间微分性质，求出$\left[X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}\right]$的傅里叶逆变换

解决方案

给定的

$$\mathrm{X(\omega)=\frac{j\omega}{(1+j\omega)^{2}}}$$

单边指数函数的傅里叶变换定义为，

$$\mathrm{F[t\:e^{-at}u(t)]=\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}}$$

因此，对于给定的函数(a=1)，我们有，

$$\mathrm{F[t\:e^{-t}u(t)]=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$

让，

$$\mathrm{x_{1}(t)=t\:e^{-t}u(t)}$$

然后，

$$\mathrm{x_{1}(\omega)=\frac{1}{(1+j\omega)^{2}}}$$

现在，利用x(t)傅立叶变换的时间微分性质$[即\frac{d}{dt}\overset{FT}{\leftrightarrow}j\omega\cdotX(\omega)]$，我们得到，

$$\mathrm{F\left[\frac{d}{dt}x_{1}(t)\right]=j\omega\cdotX_{1}(\omega)}$$

因此，给定函数的逆傅立叶变换是，

$$\mathrm{F^{-1}[j\omega\cdotX_{1}(\omega)]=\frac{d}{dt}x_{1}(t)=\frac{d}{dt}[t\:e^{-t}u(t)]}$$