连续时间傅立叶级数的时移、时间反转和时间标度特性

傅立叶级数

如果$$x(t)是周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}...(1)}$$

其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt...(2)}$$

傅立叶级数的时移特性

令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的时移性质表明

$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$

证明

由连续时间傅里叶级数的定义，我们得到，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}…(3)}$$

将等式(3)中的$(t−t_{0})$替换为$t$，我们有，

$$\mathrm{x(t−t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(t−t_{0})}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(t−t_{0})=\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}…(4)}$$

$$\mathrm{∵\:\sum_{n=−\infty}^{\infty}(C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}})e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{n}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}]...(5)}$$

从等式(4)和(5)，我们得到，

$$\mathrm{x(t−t_{0})\overset{FT}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}\:\:(因此，\:\:证明)}$$

傅立叶级数的时间反转特性

令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的时间反转性质表明

$$\mathrm{x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}}$$

证明

从连续时间傅里叶级数的定义，我们有，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}...(6)}$$

将等式(6)中的$t$替换为$(−t)$，我们得到，

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}(-t)}...(7)}$$

将$(n=−k)$代入方程(7)的RHS，我们有，

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{-\infty}C_{-k}e^{j(-k)\omega_{0}(-t)}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(-t)=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jk\omega_{0}t}...(8)}$$

现在，通过代入方程(8)中的$(k=n)$，我们得到，

$$\mathrm{x(-t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{-k}e^{jn\omega_{0}t}=FS^{-1}[C_{-n}]}$$

$$\mathrm{\therefore\:x(-t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{-n}\:\:(Hence\:proved)}$$

傅立叶级数的时间标度特性

令$$x(t)是一个周期函数，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$。那么，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的时间标度特性表明

$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega_{0}\rightarrow\:a\omega_{0}}$$

证明

由连续时间傅里叶级数的定义，我们得到，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}...(9)}$$

用方程(9)中的$(at)$替换$t$，我们得到，

$$\mathrm{x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}at}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:x(at)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn(a\omega_{0})t}=FS^{-1}[C_{n}]...(10)}$$

所以，

$$\mathrm{x(at)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}\:\:with\:\omega\rightarrowa\omega_{0}\:\:(Hence,\:\:proved)}$$