连续时间傅立叶级数中的帕塞瓦尔定理

傅立叶级数

如果$$x(t)是周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}...(1)}$$

其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt...(2)}$$

帕塞瓦尔定理和帕塞瓦尔恒等式

设$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$两个周期为T且傅立叶级数系数为$C_{n}$和$D_{n}$的复周期函数。

如果，

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

然后，连续时间傅立叶级数的Parseval定理指出

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}\:[for\:complex\:x_{1}(t)\:\&\:x_{2}(t)]...(3)}$$

并且parseval的傅立叶级数恒等式表明，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{1}(t)=x(t)}$$

然后，

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}...(4)}$$

证明——帕塞瓦尔定理或帕塞瓦尔关系或帕塞瓦尔性质

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}...(5)}$$

根据傅里叶级数的定义，我们有，

$$\mathrm{LHSof\:eq.(5)=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt}$$

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\left(\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\right)x_{2}^{*}(t)\:dt...(6)}$$

重新排列方程(6)的RHS中积分和求和的顺序，我们得到，

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}^{*}(t)e^{jn\omega_{0}t}\:dt\right)}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{1}{T}\int_{0}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{2}(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right)^{*}...(7)}$$

将等式(7)与等式进行比较。(2)，我们可以写，

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\:x_{2}^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:D_{n}^{*}...(8)\:\:(Hence,\:Proved)}$$

证明——帕塞瓦尔的身份

如果，

$$\mathrm{x_{1}(t)=x_{2}(t)=x(t)}$$

然后，Parseval的关系变为，

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:x^{*}(t)\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:C_{n}^{*}...(9)}$$

$$\mathrm{\because\:x(t)\:x^{*}(t)=|x(t)|^{2}\:and\:C_{n}\:C_{n}^{*}=|C_{n}|^{2}}$$

现在，将这些值代入方程(9)，我们得到，

$$\mathrm{\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}|x(t)|^{2}\:dt=\sum_{n=−\infty}^{\infty}|C_{n}|^{2}...(10)\:\:(Hence,\:Proved)}$$