信号与系统 - 傅里叶变换的共轭和自相关特性

傅里叶变换

对于连续时间函数x(t)，的傅立叶变换x(t)可以定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

傅里叶变换的共轭性质

语句-傅立叶变换的共轭性质指出，x(t)时域中函数的共轭导致其频域中的傅立叶变换共轭，并且ω被(-ω)替换，即，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据傅立叶变换的共轭性质，

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

在两边取共轭，我们得到

$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt]^*}$$

$$\mathrm{\RightarrowX^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omegat}dt}$$

现在，通过将(ω)替换为(-ω)，我们得到，

$$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omegat}dt=F[x^*(t)]}$$

$$\mathrm{\因此F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$

或者，也可以表示为，

$$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$

傅里叶变换的自相关特性

连续时间函数的自相关