傅里叶变换的调制特性

傅里叶变换

连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)可以定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

傅里叶变换的调制特性

声明-连续时间傅立叶变换的调制特性表明，如果连续时间函数$$x(t)乘以$cos\:\omega_{0}t$，则其频谱在频率上上下平移$\omega_{0}$.因此，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据CTFT的调制特性，

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$

证明

使用欧拉公式，我们得到，

$$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}\右]}$$

所以，

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}\right]}$$

现在，根据傅立叶变换的定义，我们有，

$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0}t}\:dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0}t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0}t\:e^{-j\omega_{0}t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0}t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}\right]e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0}t]=\frac{1}{2}F[x(t)e^{j\omega_{0}t}]+\frac{1}{2}F[x(t)e^{-j\omega_{0}t}]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0}t]=\frac{1}{2}X(\omega-\omega_{0})+\frac{1}{2}X(\omega+\omega_{0})}$$

因此，傅里叶变换是，

$$\mathrm{F[x(t)\:cos\:\omega_{0}t]=\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$

或者，也可以表示为，

$$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$

同理，当信号x(t)乘以$sin\:\omega_{0}\:t$，则根据CTFT的调制特性，信号的傅里叶变换为，

$$\mathrm{x(t)\:sin\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})]}$$

数值示例

利用傅里叶变换的调制性质，求出$[sin\:\omega_{0}\:t]$的傅里叶变换。

解决方案

鉴于，

$$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0}\:t}$$

让$$x(t)乘以函数$x_{1}(t)$作为，

$$\mathrm{x(t)=x_{1}(t)\cdotsin\:\omega_{0}\:t}$$

在哪里，

$$\mathrm{x_{1}(t)=1}$$

此外，恒定幅度的傅立叶变换由下式给出，

$$\mathrm{F[x_{1}(t)]=F[1]=2\pi\delta(\omega)}$$

现在，使用调制属性，我们得到，

$$\mathrm{F[x(t)]=F[x_{1}(t)\:sin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X_{1}(\omega+\omega_{0})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[(1)\cdotsin\:\omega_{0}\:t]=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})-2\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[sin\:\omega_{0}t]=\frac{1}{j}[\pi\delta(\omega-\omega_{0})-\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$

因此，给定函数的傅立叶变换是，

$$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}t]=j\pi[\delta(\omega+\omega_{0})-\delta(\omega-\omega_{0})]}$$