连续时间傅立叶级数的乘法或调制特性

傅立叶级数

如果$$x(t)是周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，

$$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:...(1)}$$

其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:...(2)}$$

调制或乘法特性

设$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$两个周期信号，时间周期为$T$，傅立叶级数系数为$C_{n}$和$D_{n}$。如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的调制或乘法性质表明，

$$\mathrm{x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{nk}}$$

证明

由连续时间傅立叶级数的定义，我们得到，

$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left(\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}e^{jk\omega_{0}t}\right)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left(\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}e^{-j(nk)\omega_{0}t}\right)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:...(3)}$$

通过重新排列方程(3)中的积分和求和的顺序，我们得到，

$$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)]=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\left(\frac{1{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)e^{-j(nk)\omega_{0}t}\:dt\right)=\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{nk}}$$

在哪里，

$$\mathrm{D_{nk}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)e^{-j(nk)\omega_{0}t}\:dt}$$

所以，

$$\mathrm{x_{1}(t)\cdotx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}D_{nk}\:\:\:(Hence,\:Provided)}$$