连续时间傅里叶变换 (CTFT) 的特性

傅里叶变换

连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

逆傅里叶变换

连续时间函数的逆傅里叶变换定义为，

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$

傅里叶变换的性质

连续时间傅里叶变换(CTFT)具有许多重要特性。这些属性对于驱动傅立叶变换对以及推导一般频域关系非常有用。这些属性还有助于找出各种时域操作对频域的影响。表中给出了连续时间傅里叶变换的一些重要性质-

CTFT的性质时域x(t)频域X(ω)LinearityProperty$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$$aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$时移属性$x(t±t_{0})$$e^{±j\omegat_{0}}X(\omega)$频移特性$e^{±j\omega_{0}t}x(t)$$X(\omega∓\omega_{0})$时间反转属性x(-t)$x(-\omega)$时间缩放属性x(at)$\frac{1}{|a|}X(\frac{\omega}{a})$时间微分属性$\frac{d}{dt}x(t)$$j\omegaX(\omega)$频率导数性质$$t.x(t)$j\frac{d}{d\omega}X(\omega)$时间积分属性$\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dτ$$\frac{X(\omega)}{j\omega}$卷积性质$x_{1}(t)*x_{2}(t)$$X_{1}(\omega)X_{2}(\omega)$乘法性质$x_{1}(t)x_{2}(t)$$\frac{1}{2\pi}[X_{1}(\omega)*X_{2}(\omega)]$二元性或对称性X(t)$2\pix(-\omega)$调制特性$x(t)\:cos\:\omega_{0}t$$\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]$$x(t)\:sin\:\omega_{0}t$$\frac{1}{2j}[X(\omega-\omega_{0})-X(\omega+\omega_{0})]$ConjugationPropertyx*(t)$x*(-\omega)$自相关性质R(τ)$|X(-\omega)|^{2}$帕塞瓦尔定理$\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)x_{2}^*(t)dt$$\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X_{1}(\omega)x_{2}^*(\omega)d\omega$帕塞瓦尔的身份$\int_{−\infty}^{\infty}|x(t)|^{2}dt$$\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}|X(\omega)|^{2}d\omega$曲线下面积属性$\int_{−\infty}^{\infty}x(t)dt$$\frac{1}{2\pi}X(0)$x(0)$\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)d\omega$