信号与系统——傅立叶变换对表

傅里叶变换

傅里叶变换是一种将信号从连续时域变换到相应频域，反之亦然的变换技术。

连续时间函数$$的傅立叶变换x(t)定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt...(1)}$$

逆傅里叶变换

连续时间函数的逆傅里叶变换定义为，

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omegat}d\omega...(2)}$$

$X(\omega)$和$x(t)$的方程(1)和(2)被称为傅立叶变换对，可以表示为-

$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$

和

$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$

傅里叶变换对表

功能，x(t)傅立叶变换，X(ω)$\delta(t)$

1$\delta(t-t_{0})$

$e^{-j\omegat_{0}}$

1$2\pi\delta(\omega)$

u(t)$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$

$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$

$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}\right)$

sgn(t)

$\frac{2}{j\omega}$

$e^{j\omega_{0}t}$

$2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$

$cos\:\omega_{0}t$

$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$

$sin\:\omega_{0}t$

$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$

$e^{-at}u(t);\:\:\:a>0$

$\frac{1}{a+j\omega}$

$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a>0$

$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$

$e^{-|at|};\:\:a>0$

$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$

$e^{-|t|}$

$\frac{2}{1+\omega^{2}}$

$\frac{1}{\pit}$

$-j\:sgn(\omega)$

$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$

$\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$

$\Pi(\frac{t}{τ})$

$τ\:sinc(\frac{\omegaτ}{2})$

$\Delta(\frac{t}{τ})$

$\frac{τ}{2}sinC^{2}(\frac{\omegaτ}{4})$

$\frac{sin\:at}{\pit}$

$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1&for\:|\omega|\:a\end{cases}$

$cos\:\omega_{0}t\:u(t)$

$\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]+\left[\frac{j\omega}{(j\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}\right]$

$sin\:\omega_{0}t\:u(t)$

$-j\frac{\pi}{2}[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]+\left[\frac{\omega_{0}}{(j\omega)^{2}+\omega_{0}^{2}}\right]$