信号与系统——傅立叶变换的对偶性

傅里叶变换

对于连续时间函数x(t)，的傅立叶变换x(t)可以定义为

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

连续时间傅里叶变换的对偶性

语句——如果一个函数x(t)有一个傅里叶变换X(ω)并且我们在时域中用傅里叶变换的函数形式形成一个新的函数X(t)，那么它将有一个傅里叶变换X(ω)和原始函数形式时间函数，但它是频率的函数。

在数学上，CTFT的对偶性质表明，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据对偶性质，

$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pix(-\omega)}$$

证明

根据傅里叶逆变换的定义，我们有

$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$

$$\mathrm{\Rightarrow2\=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omegat}d\omega}$$pi.x(t)

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