连续时间傅立叶级数的线性和共轭性质

傅立叶级数

如果$$x(t)是周期为$T$的周期函数，则该函数的连续时间指数傅立叶级数定义为，

$$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:...(1)}$$

其中，$C_{n}$是指数傅立叶级数系数，由下式给出，

$$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:...(2)}$$

连续时间傅立叶级数的线性特性

考虑两个周期信号$x_{1}(t)$和$x_{2}(t)$，它们分别以时间周期T和傅立叶级数系数$C_{n}$和$D_{n}$为周期。如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

$$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的线性特性表明

$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$

证明

由周期函数的傅里叶级数的定义，我们得到，

$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right)+B\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right)\:\:...(3)}$$

在比较方程(2)和(3)时，我们有，

$$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=AC_{n}+BD_{n}}$$

$$\mathrm{\therefore\:Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}\:\:(Hence,\:\:证明)}$$

连续时间傅立叶级数的共轭性质

设一个周期函数$$x(t)，它与时间周期$T$和傅立叶级数系数$C_{n}$是周期性的。如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

那么，连续时间傅立叶级数的共轭性质表明

$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[for\:complex\:x(t)]}$$

证明

根据傅立叶级数的定义，我们得到，

$$\mathrm{FS[x^{*}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x^{*}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{jn\omega_{0}t}\:dt\right)^{*}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x^{*}(t)]=\left(\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)\:e^{-j(-n)\omega_{0}t}\:dt\right)^{*}=(C_{-n})^{*}}$$

所以，

$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[for\:complex\:x(t)]}$$

连续时间傅立叶级数的共轭对称性

正如函数$x(t)$的傅立叶级数的共轭性质指出，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$

然后，

$$\mathrm{x^{*}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{-n}^{*}\:\:[for\:complex\:x(t)]}$$

傅立叶级数的共轭对称性表明

$$\mathrm{C_{-n}=C_{n}^{*}\:\:\:[for\:\:real\:x(t)]}$$