傅里叶变换的线性和频移特性

傅里叶变换

对于连续时间函数$$x(t)，傅立叶变换可以定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

傅里叶变换的线性特性

Statement-傅立叶变换的线性特性表明，两个信号的加权和的傅立叶变换等于它们各自傅立叶变换的加权和。

因此，如果

$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$

那么，根据傅里叶变换的线性特性，

$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

其中，a和b是常数。

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有，

$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j\omegat}dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j\omegat}dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

$$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

或者，也可以写成，

$$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$

傅里叶变换的频移特性

陈述–傅立叶变换的频移特性表明，时域信号$$乘以x(t)指数$(e^{j\omega_{0}t})$会导致频谱偏移$\omega_{0}$。因此，如果

$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据频移特性，

$$\mathrm{e^{j\omega_{0}t}\:x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega-\omega_{0})}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有，

$$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[e^{j\omega_{0}t}x(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}e^{j\omega_{0}t}x(t)e^{-j\omega_{0}t}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j(\omega-\omega_{0})t}dt=X(\omega-\omega_{0})}$$

$$\mathrm{\therefore\:F[e^{j\omega_{0}t}x(t)]=X(\omega-\omega_{0})}$$

或者，也可以表示为，

$$\mathrm{e^{-j\omega_{0}t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega-\omega_{0})}$$

相似地，

$$\mathrm{e^{-j\omega_{0}t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega+\omega_{0})}$$

数值示例

使用傅里叶变换的线性和频移特性，找到$[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]$的傅里叶变换。

解决方案

鉴于，

$$\mathrm{x(t)=cos\:\omega_{0}t\:u(t)}$$

使用欧拉公式，我们可以写出，

$$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}\右]}$$

$$\mathrm{\therefore\:x(t)=cos\:\omega_{0}t\:u(t)=\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}。u(t)\右]}$$

现在，$$的傅立叶变换x(t)是，

$$\mathrm{F[x(t)]=F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=F\left[\frac{e^{j\omega_{0}t}+e^{-j\omega_{0}t}}{2}。u(t)\右]}$$

使用线性属性$[即，ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)]$，我们得到，

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=\frac{1}{2}F[e^{j\omega_{0}t}u(t)]+\frac{1}{2}F[e^{-j\omega_{0}t}u(t)]}$$

现在，使用傅立叶变换的频移属性$[ie,e^{j\omega_{0}t}x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega-\omega_{0})]$，我们得到，

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=\frac{1}{2}\{F[u(t)]\}_{\omega=(\omega-\omega_{0})}+\frac{1}{2}\{F[u(t)]\}_{\omega=(\omega+\omega_{0})}}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=\frac{1}{2}\left[\{\pi\delta(\omega-\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega-\omega_{0})}\}+\{\pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{1}{j(\omega+\omega_{0})}\}\right]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=\frac{1}{2}\left[\pi\delta(\omega-\omega_{0})+\pi\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{2j\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\right]}$$

因此，给定信号的傅里叶变换是，

$$\mathrm{F[cos\:\omega_{0}t\:u(t)]=\left[\frac{\pi}{2}\delta(\omega-\omega_{0})+\frac{\pi}{2}\delta(\omega+\omega_{0})+\frac{j\omega}{\omega_{0}^{2}+(j\omega)^{2}}\right]}$$