傅里叶变换的频率微分性质

傅里叶变换

连续时间函数的傅里叶变换可以定义为，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\:X(t)e^{-j\omegat}\:dt}$$

傅里叶变换频域性质的微分

语句-傅里叶变换的频率导数属性指出，函数X(t)在时域中的乘法等效于其在频域中的傅里叶变换的微分。因此，如果

$$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$

那么，根据频率导数性质，

$$\mathrm{t\cdotx(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$

证明

根据傅里叶变换的定义，我们有，

$$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}\:dt}$$

对上述方程两边对ω进行微分，我们得到，

$$\mathrm{\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\frac{d}{d\omega}\left[\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omegat}\:dt\right]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\frac{d}{d\omega}\left[e^{-j\omegat}\right]dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)(-jt)e^{-j\omegat}dt}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=-j\int_{−\infty}^{\infty}t\cdotx(t)e^{-j\omegat}dt=-jF[tx(t)]}$$

所以，

$$\mathrm{F[tx(t)]=j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$

或者，它可以表示为

$$\mathrm{t\cdotx(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$

数值示例

利用傅里叶变换的频率导数性质，求出函数$[te^{-2t}\:u(t)]$的傅里叶变换。

解决方案

给定的

$$\mathrm{x(t)=te^{-2t}u(t)}$$

让，

$$\mathrm{x_{1}(t)=e^{-2t}u(t)}$$

根据单边指数函数的傅里叶变换的定义，我们有，

$$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$

因此，对于函数$X_{1}(t)$，我们有，

$$\mathrm{X_{1}(\omega)=F[e^{-2t}u(t)]=\frac{1}{2+j\omega}}$$

现在，通过使用x(t)傅立叶变换的频率导数属性$[即t\cdot\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)]$，我们得到，

$$\mathrm{F[te^{-2t}u(t)]=j\frac{d}{d\omega}F[e^{-2t}u(t)]}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:F[te^{-2t}u(t)]=j\frac{d}{d\omega}\left(\frac{1}{2+j\omega}\right)=j\frac{-1(j)}{(2+j\omega)^2}}$$

因此，给定函数的傅立叶变换是，

$$\mathrm{F[te^{-2t}u(t)]=\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$

或者，也可以写成，

$$\mathrm{te^{-2t}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{(2+j\omega)^2}}$$